Определение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х0, называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.
Тот же факт можно записать иначе:
Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, но не является непрерывной в самой точке х0, то она называется разрывной функцией, а точка х0 – точкой разрыва.
Пример непрерывной функции:
y
f(x0)+e
f(x0)
f(x0)-e
0 x0-D x0 x0+D x
Пример разрывной функции:
y
f(x0)+e
f(x0)
f(x0)-e
x0 x
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого положительного числа e>0 существует такое число D>0, что для любых х, удовлетворяющих условию
верно неравенство
.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х0, если приращение функции в точке х0 является бесконечно малой величиной.
f(x) = f(x0) + a(x)
где a(х) – бесконечно малая при х®х0.
Свойства непрерывных функций.
1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х0 функций – есть функция, непрерывная в точке х0.
2) Частное двух непрерывных функций
– есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х0.
3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.
Это свойство может быть записано следующим образом:
Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х0, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.
Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.
Наибольшее и наименьшее значение функции
В курсах анализа доказывается теорема Вейерштрасса, утверждающая что непрерывная на отрезке a;b функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения, т.е существуют точки отрезка a;b , в которых f принимает наибольшее и наиме6ньшее на a;b значения.
Цеховые объединения
ремесленников Элементы комбинаторики
