[an error occurred while processing this directive]
Начертательная геометрия Комплексный чертеж Первая и вторая позиционные задачи Поверхности вращения Пересечение поверхностей Способ эксцентрических сфер Развертки поверхностей Аксонометрические проекции

Задачи начертательной геометрии

 Перпендикулярность двух плоскостей

 Определение. Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. Приведем без доказательства теоремы стереометрии, полезные для решения последующих метрических задач.

1. Признак перпендикулярности двух плоскостей: если плоскость проходит через

 перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

2. Если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то

 прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости.

3. Для наклонной, т. е. не являющейся перпендикуляром к плоскости, имеет место

  утверждение: через наклонную проходит единственная плоскость,

 перпендикулярная данной плоскости.

 Последнее утверждение позволяет предложить следующий алгоритм построения плоскости, проходящей через наклонную АВ и перпендикулярную заданной плоскости Σ:

1) на АВ выбирается произвольная точка Е;

2) строится прямая t таким образом, что t ' Е, t ^ h , t ^ f , где h Ì Σ, f Ì Σ (рис. 7.10),

 т.е. t ^ Σ.

Плоскость (АВ, t ) будет единственной плоскостью, перпендикулярной плоскости Σ. Заметим, что через прямую t ^ Σ проходит не одна плоскость, перпендикулярная Σ.

Задача. Даны плоскость Σ(CD, MN), где CD // MN и прямая АВ (рис. 7.11). Построить на КЧ плоскость, проходящую через АВ и перпендикулярную плоскости Σ.

Алгоритм проекционного решения задачи:

1) строятся линии уровня h(h1,h2) и f(f1,f2) в плоскости Σ,

 при этом h2 // х, f1 // х;

2) строятся проекции t1 и t2 прямой t таким образом, что

 t2 ' E2 , t2 ^ f2 ; t1 ' E1, t1 ^ h1 , где Е ÎАВ – произвольная

 точка. Плоскость (АВ, t) – решение задачи.

Задача. Даны плоскости Σ(АВ, DC) и Δ(KL, PT), где

AB Ç DC, KL // PT, а также точка Е. Построить плоскость, проходящую через точку Е и перпендикулярную обеим плоскостям Σ и Δ (рис. 9.9).

Одно из возможных решений данной задачи состоит в следующем. Вначале строится линия пересечения заданных плоскостей t = Σ Ç Δ. Затем, на основании приведенных теорем стереометрии, строится плоскость, проходящая через точку Е и перпендикулярная линии t. Будучи единственной, эта плоскость представляет собой решение задачи. Возможен другой алгоритм решения данной задачи (см. рис. 9.8):

1) из точки Е опускается перпендикуляр а

 на плоскость Σ;

2) из точки Е опускается перпендикуляр b

 на плоскость Δ.

Плоскость (a, b), где a Ç b = E, есть решение задачи. Рассмотрим реализацию этого алгоритма на КЧ (см. рис. 9.9).

1. В плоскости Σ построим линии уровня 

 h1(h11,h12) и f 1(f11, f12) . При этом 

 h12 // x; f11 // x.

2. В плоскости Δ построим линии уровня

 h2(h21,h22) и f 2(f21,f22) . При этом 

  h22 // х; f21 //х.

3. Из точки Е опускаются два перпендикуляра: а ^ Σ, b ^ Δ. При этом а2 ^ f12 ,

 а1 ^h11 ; b2 ^ f22 , b1 ^ h21 .

Две прямые а и b, пересекающиеся в точке Е, определяют искомую плоскость, т.е. плоскость, перпендикулярную заданным плоскостям Σ и Δ.


Ортогональная (прямоугольная) изометрическая проекция